PHP实现的迪科斯彻(Dijkstra)最短路径算法实例

更新:2017-10-25    编辑:芷雁    来源:哥乖    人气:加载中...    字号:|

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本文实例讲述了PHP实现的迪科斯彻(Dijkstra)最短路径算法分享给大家供大家参考,具体如下:

一、待解决问题

单源最短路径问题,在给定有向图中求一个顶点(单源顶点)到其他所有顶点的最短路径问题。在下图中,每条边上有一个权值,愿望求解A到所有其他顶点(B/C/D/E/F/G)的最短路径。

PHP实现的迪科斯彻(Dijkstra)最短路径算法实例

二、问题分析(最短路径的子结构同样最优性)

如果P(A,G)是从顶点A到G的最短路径,假设D和F是这条路径上的中间点,那么P(D,F)一定时从D到F的最短路径。如果P(D,F)不是D到F的最短路径,那必定存在某一个节点M的另一条D到F的路径可以使P(A,B...M...F,G)比P(A,G)小,自相抵触。

有了这样的性质,,我们可以领会Dijkstra算法

三、Dijkstra算法

Dijkstra 算法,又叫迪科斯彻算法(Dijkstra),又称为单源最短路径算法,所谓单源是在一个有向图中,从一个顶点起程,求该顶点至所有可到达顶点的最短路径问题。 问题描述为设G=(V,E)是一个有向图,V表示顶点,E表示边。它的每一条边(i,j)属于E,都有一个非负权W(I,j),在G中指定一个结点v0,要求把从v0到G的每一个接vj(vj属于V)的最短有向路径找出来(或者指出不存在)。 Dijstra算法是运用贪心的策略,从源点开始,不断地通过相联通的点找出到其他点的最短距离。

Dijkstra的贪心使用在他利用(二)中的性质,不断地选取“最近”的节点并试探每个节点的所有可能存在链接,以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。对于源点A,逐步扩展,根据dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}更新与i直接相邻的顶点信息。

算法描述

1)算法思想:

设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点聚拢V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点聚拢(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到聚拢S中,直到整个顶点都加入到S中,算法就收场了),第二组为其余未断定最短路径的顶点聚拢(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的历程中,总维持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包孕源点,即S={v},v的距离为0。U包孕除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,改动U中与k相邻的各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则改动顶点u的距离值,改动后的距离值为顶点k的距离加上k与u边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包孕在S中。

四、算法PHP实现

<?php class Dijkstra { private $G; public function __construct() { //有向图存储 $this->G = array( array(0,1,2,0,0,0,0), array(0,0,0,1,2,0,0), array(0,0,0,0,0,2,0), array(0,0,0,0,0,1,3), array(0,0,0,0,0,0,3), array(0,0,0,0,0,0,1), array(0,0,0,0,0,0,0), ); } public function calculate() { // 存储已经选择节点和剩余节点 $U = array(0); $V = array(1,2,3,4,5,6); // 存储路径上节点距离源点的最小距离 $d = array(); //初始化图中节点与源点0的最小距离 for($i=1;$i<7;$i++) { if($this->G[0][$i]>0) { $d[$i] = $this->G[0][$i]; } else { $d[$i] = 1000000; } } // n-1次循环完成转移节点任务 for($l=0;$l<6;$l++) { // 查找剩余节点中距离源点最近的节点v $current_min = 100000; $current_min_v = 0; foreach($V as $k=>$v) { if($d[$v] < $current_min) { $current_min = $d[$v]; $current_min_v = $v; } } //从V中更新顶点到U中 array_push($U,$current_min_v); array_splice($V,array_search($current_min_v,$V),1); //更新 foreach($V as $k=>$u) { if($this->G[$current_min_v][$u]!=0&&$d[$u]>$d[$current_min_v]+$this->G[$current_min_v][$u]) { $d[$u] = $d[$current_min_v]+$this->G[$current_min_v][$u]; } } } foreach($d as $k => $u) { echo $k.'=>'.$u.'<br>'; } } } ?>

调用类:

$D = new Dijkstra; $D->calculate();

履行结果:

1=>1 2=>2 3=>2 4=>3 5=>3 6=>4


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